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傅里叶变换的定义_傅里叶变换的意义_如何求傅里叶变换

时间:2018-03-03 16:49 来源:电工之家 手机版

一、傅里叶变换的定义
后人将傅里叶的论断进行了扩展:满足一定条件的函数可以表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。如何得到这个线性组合呢?这就需要傅里叶变换。
一定条件是什么呢?
这是数学家研究的问题,对于大多数搞电参量测量的工程师而言,不必关注这个问题,因为,电参量测量中遇到的周期信号,都满足这个条件。
这样,在电参量测量分析中,我们可以用更通俗的话来描述傅里叶变换:
任意周期信号可以分解为直流分量和一组不同幅值、频率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里叶变换。
并且,这些正弦波的频率符合一个规律:是某个频率的整数倍。这个频率,就称为基波频率,而其它频率称为谐波频率。如果谐波的频率是基波频率的N倍,就称为N次谐波。直流分量的频率为零,是基波频率的零倍,也可称零次谐波。
二、傅里叶变换的意义
1、为什么要进行傅里叶变换呢?
傅里叶变换是描述信号的需要。
只要能反映信号的特征,描述方法越简单越好!
信号特征可以用特征值进行量化。
所谓特征值,是指可以定量描述一个波形的某种特征的数值。全面描述一个波形,可能需要多个特征值。
比如说:正弦波可以用幅值和频率两个特征值全面描述;方波可以用幅值、频率和占空比三个特征值全面描述(单个周期信号不考虑相位)。
上述特征值,我们可以通过示波器观测实时波形获取,称为时域分析法。事实上,许多人都习惯于时域分析法,想要了解一个信号时,一定会说:“让我看看波形!”
可是,除了一些常见的规则信号,许多时候,给你波形看,你也看不明白!
复杂的不讲,看看下面这个波形,能看出道道吗?
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我们能看到的仅仅是一个类似正弦波的波形,其幅值在按照一定的规律变化。
如何记载这个波形的信息呢?尤其是量化的记载!
很难!
事实上,上述波形采用傅里叶变换后,就是一个50Hz的正弦波上叠加一个40Hz的正弦波,两者幅度不同,40Hz的幅度越大,波动幅度就越大,而波动的频率就是两者的差频10Hz(三相异步电动机叠频温升试验时的电流波形)。
再看一个看似简单的波形:
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这个波形有点像正弦波,但是,比正弦波尖,俗称“尖顶波”,多见于变压器空载电流输入波形。
我们很难准确定量其与正弦波的区别。
采用傅里叶变换后,得到下述频谱(幅值谱):
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主要包括3、5、7、9次谐波,一目了然!
傅里叶变换是一种信号分析方法,让我们对信号的构成和特点进行深入的、定量的研究。把信号通过频谱的方式(包括幅值谱、相位谱和功率谱)进行准确的、定量的描述。
这就是傅里叶变换的主要目的。
现在,我们知道傅里叶变换的目的了, 剩下的问题是:
2、为什么傅里叶变换要把信号分解为正弦波的组合,而不是方波或三角波?
其实,如果张三能够证明, 任意信号可以分解为方波的组合,其分解的方法不妨称为张三变换;李四能够证明,任意信号可以分解为三角波的组合,其分解的方法也可以称为李四变换。
傅里叶变换是一种信号分析的方法。既然是分析方法,其目的应该是把问题变得更简单,而不是变得更复杂。傅里叶选择了正弦波,没有选择方波或其它波形,正好是其伟大之处!
正弦波有个其它任何波形(恒定的直流波形除外)所不具备的特点:正弦波输入至任何线性系统,出来的还是正弦波,改变的仅仅是幅值和相位,即:正弦波输入至线性系统,不会产生新的频率成分(非线性系统如变频器,就会产生新的频率成分,称为谐波)。用单位幅值的不同频率的正弦波输入至某线性系统,记录其输出正弦波的幅值和频率的关系,就得到该系统的幅频特性,记录输出正弦波的相位和频率的关系,就得到该系统的相频特性。
线性系统是自动控制研究的主要对象,线性系统具备一个特点,多个正弦波叠加后输入至一个系统,输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加。
也就是说,我们只要研究正弦波的输入输出关系,就可以知道该系统对任意输入信号的响应。
这就是傅里叶变换的最主要的意义!
三、如何求傅里叶变换?
文章开始就说了,具体求傅里叶变换,有成熟的函数可供调用。本文只讲述如何理解傅里叶变换的思想。如果你掌握了这个思想,不用再记公式,也不用去调用什么函数,自己编个简单程序就可实现。就算你不会编程,只要你学过三角函数,至少可以理解傅里叶变换的过程。
傅里叶的伟大之处不在于如何进行傅里叶变换,而是在于给出了“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”这一伟大的论断。
知道了这一论断,只要知道正弦函数的基本特性,变换并不难,不要记公式,你也能实现傅里叶变换!
正弦函数有一个特点,叫做正交性,所谓正交性,是指任意两个不同频率的正弦波的乘积,在两者的公共周期内的积分等于零。
这是一个非常有用的特性,我们可以利用这个特性设计一个如下的检波器(下称检波器A):
检波器A由一个乘法器和一个积分器构成,乘法器的一个输入为已知频率f的单位幅值正弦波(下称标准正弦信号f),另一个输入为待变换的信号。检波器A的输出只与待变换信号中的频率为f的正弦分量的幅值和相位有关。
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待变换信号可能包含频率为f的分量(下称f分量),也可能不包含f分量,总之,可能包含各种频率分量。一句话,待变换信号是未知的,并且可能很复杂!
没关系,我们先看看,待变换信号是否包含f分量。
因为其它频率分量与标准正弦信号f的乘积的积分都等于零,检波器A可以当它们不存在!经过检波器A,输出就只剩下与f分量有关的一个量,这个量等于待变换信号中f分量与标准正弦信号f的乘积的积分。
很容易得到的结论是:
如果输出不等于零,就说明输入信号包含f分量!
这个输出是否就是f分量呢?
答案:不一定!
正弦波还有下述的特性:
相同频率的正弦波,当相位差为90°时(正交),在一个周期内的乘积的积分值等于零;当相位相同时,积分值达到最大,等于两者的有效值的乘积,当相位相反时,积分值达到最小,等于两者的有效值的乘积取反。
我们知道标准正弦信号f的初始相位为零,但是,我们不知道f分量的初始相位!如果f分量与标准正弦信号f的相位刚好差90°(或270°),检波器A输出也等于零!为此,我们再设计一个检波器B:
检波器B与检波器A的不同之处在于检波器B用一个标准余弦信号f(与标准正弦信号A相位差90°)替代滤波器A中的标准正弦信号f。如果待变换信号中包含f分量,检波器A和检波器B至少有一个输出不等于零。
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利用三角函数的基础知识可以证明,不论f分量的初始相位如何,检波器A和检波器B输出信号的幅值的方和根就等于f分量的幅值;而检波器B和检波器A的幅值的比值等于f分量初始相位的正切,如此如此……即可求出f分量的相位。
我们再把标准正弦信号f和标准余弦信号f的频率替换成我们关心的任意频率,就可以得到输入信号的各种频率成分。如果知道输入信号的频率,把这个频率作为基波频率f0,用f0、2f0、3f0依次替代标准正弦信号f和标准余弦信号f的频率,就可以得到输入信号的基波、2次谐波和3次谐波。