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麦克斯韦方程组的积分形式

时间:2018-03-12 20:25 来源:电工之家 手机版

麦克斯韦方程组的积分形式
麦克斯韦方程组的积分形式
麦克斯韦方程组的积分形式
麦克斯韦方程组的积分形式
麦克斯韦方程组的积分形式
(1) 高斯定律:    电场E在闭合曲面∂V上的通量,等于该曲面包裹住的体积V内的电荷(乘上系数1/ε0);
(2) 法拉第定律:   电场E在闭合曲线∂S上的环量,等于磁场B在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率(乘上系数-1);
(3) 高斯磁定律:   磁场B在闭合曲面∂V上的通量,等于0;
(4) 安培麦克斯韦定律:磁场B在闭合曲线∂S上的环量,等于该曲线环住的曲面S里的电流(乘上系数μ0),加上电场E在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率(乘上系数μ0ε0)。
虽然在我看来,这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了,但对于没有学习过微积分的同学来说,显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。
(1) 高斯定律:
例子1:假设我们有一个点电荷Q,以其为球心作一个球,把这块体积称为V,那么∂V就是这个球的表面。这个电荷Q产生了一些电场,从中心的Q向外发射,显然电场线都穿过了球的表面∂V,所以“闭合曲面∂V的通量”是个正数,不为0,而“该曲面包裹住的电荷”为Q,也不为0。
例子2:假设我们把电荷Q替换为-Q,那么所有的电场线方向都反过来了,∂V的通量(记得通量中的点乘吗?)也因此获得了一个负号,所以“闭合曲面∂V的通量”变成了负数,而“该曲面包裹住的电荷”为-Q,也变成了负数。等式再一次成立。
例子3:假设我们把这个球的半径扩大为原来的2倍,这个球的表面积就变成了原来的4倍。与此同时,由于库仑力的反比平方定律,由于球表面与球心电荷Q的距离变成了原来的2倍,在球表面∂V的电场强度也变成了原来的1/4。通量(电场和面积的积分)获得一个系数4,又获得一个系数1/4,所以“闭合曲面∂V的通量”没有变,而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为Q,也没有变。
例子4:事实上,我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积,算出来的通量都不会变(尽管会非常难算),因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。
例子5:假设我们把电荷移到这个曲面外面,那么电场线会从这个球的一面穿透进去,然后从另一面出来,所以当我们做积分的时候,两个方向的通量抵消了,整个“闭合曲面∂V的通量”为0,而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷,所以“该曲面包裹住的电荷”也为0。等式成立。
(2) 法拉第定律:
例子6:一圈闭合导线,环住了一块曲面S,则记这个曲线的位置为∂S,那么经过∂S的电场E的环量其实就是导线内的电势(电压)。垂直于S通过一些磁场B,则通过S的磁通量不为0。然而此时导线内并没有电流,也就是说,并没有电压,“闭合曲线∂S的环量”为0。这是很显然的,因为磁通量并没有变化,没有电磁感应,换句话说,“曲面S上的通量的变化率”为0。
例子7:这个时候我突然增加磁场,所以磁通量变大了,“磁通量的变化率”为正,不为0。因此,等式的左边“闭合曲线∂S的环量”也为正,不为0,也就是说,导线内产生了一些电压,继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。
例子8:如果我不是增加磁场,而是减小磁场,那么磁通量变小了,“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线∂S的环量”也获得了一个负号,换句话说,感应电流的方向反了过来。
(3) 高斯磁定律:
例子9:随便选择一个闭合曲面,整个曲面上的磁通量一定为0。这和电场的情况迥然不同,因此说明,不像有可以产生电场的“电荷”,这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”(也就是“磁单极子”)的。
(4) 安培-麦克斯韦定律:
例子10:假设我们有一个电流I,以其为轴作一个圆,把这个圆称为S,那么∂S就是这个圆的边缘。这个电流I产生了一些磁场,(按照右手定则)绕着导线。显然磁场线和∂S都是“绕着导线”,方向一致,所以“闭合曲线∂S的环量”是个正数,不为0,而“该曲线环住的电流”为I,也不为0。
例子11:假设我们改变电流方向,即把I变成-I,那么所有的磁场线方向都反过来了,∂S的环量也因此获得了一个负号,所以“闭合曲线∂S的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。
例子12:和高斯定律很像,我们随便怎么改变这一个环的大小、面积,只要环住的电流不变,算出来的环量都不会变(尽管可能会非常难算)。而若电流在这个环外面,尽管仍然有磁场存在,但在计算环量时相互抵消,使得等式两边都变成0。
例子13:“变化的电场产生磁场”(即第二项)的例子非常难找,这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述,读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。
最后,还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为0”吗?显然,要想让磁场的环量为0,那就只能既没有电流(方程(4)中的第一项),也没有变化的电通量(第二项),那么磁场只能为0。换言之,任何磁场都不是保守力场。想让电场的通量为0还比较简单,只需要令磁通量不变(方程(2))就好了。换言之,只有在静电学(电磁场均静止不变)中,静电场才是保守力场。